Nó không phải là một đơn nguyên, nhưng nó là gì?

Question

According to the Haskell wikibook, một Monad gọi m là một Functor với hai hoạt động bổ sung:

unit :: a -> m a 
join :: m (m a) -> m a 

Đó là tốt đẹp, nhưng tôi có một cái gì đó hơi khác nhau. Lướt qua các chi tiết đẫm máu, tôi có một loại có các hàm unit và join tốt, nhưng fmap không hoạt động tốt (fmap g . fmap f không nhất thiết phải là fmap (g.f)). Bởi vì điều này, nó không thể được thực hiện một thể hiện của Monad. Tuy nhiên, tôi muốn cung cấp cho nó nhiều chức năng chung nhất có thể.

Vì vậy, câu hỏi của tôi là, cấu trúc lý thuyết danh mục nào tương tự như monads ở chỗ chúng có unit và join?

Tôi nhận thấy rằng ở một mức độ nào đó, câu hỏi trên không được xác định rõ ràng. Đối với monads, các định nghĩa unit và join chỉ có ý nghĩa về định nghĩa fmap. Nếu không có fmap, bạn không thể xác định bất kỳ luật đơn nguyên nào, do đó, bất kỳ định nghĩa nào của unit/join sẽ không có giá trị "hợp lệ". Vì vậy, tôi đang tìm các chức năng khác ngoài fmap rằng có thể có ý nghĩa để xác định một số luật "không đơn điệu" trên các hàm unit và join này.

Answer 1

Vâng, đây là một luật bạn nên có chỉ với unit và join. Với x :: m a,

join (unit x) = x 

---

Để chứng minh rằng điều này không chỉ đến từ hư không, chúng ta hãy bắt đầu với một luật đơn nguyên hiện có:

return x >>= f = f x 

Cho rằng m >>= f = join (fmap f m)

join (fmap f (return x)) = f x 

Chọn f = id

join (fmap id (return x)) = id x 

Sử dụng các luật functor rằng fmap id = id

join (id (return x)) = id x 

Sử dụng rõ ràng id a = a

join (return x) = x