"quả cầu trong túi" để chiếu hình cầu

Question

Tôi đang tìm phép chuyển đổi toán học để biến đổi điểm trên mặt phẳng 2D [0,1]x[0,1] lên đơn vị.

Việc dự báo phổ biến nhất sẽ vĩ-longitude lập bản đồ bằng cách giải thích u và v như các góc cho các tọa độ hình cầu (bản đồ u-[0,2PI] và v-[-PI/2, PI/2])

Điều này cho phép biến dạng mạnh mẽ trên các cực của lĩnh vực. Người ta có thể nghĩ về sự biến đổi này giống như gói quả cầu vào một tờ giấy bonbon xoay giấy ở cả hai đầu. Điều này sẽ gây méo mó ở hai đầu.

Biến đổi mà tôi đang tìm kiếm có thể là đường viền của việc đưa hình cầu vào giữa một tờ giấy và đặt tất cả các cạnh xung quanh hình cầu và xoay chúng lại với nhau trên một điểm duy nhất - để bạn có được một túi giấy nhỏ quả cầu của bạn trong đó. Điều này làm biến dạng méo tối thiểu ở đáy của "túi" và khoảng cách tối đa trên đỉnh - và nếu nhìn từ bên dưới, biến dạng bằng nhau theo mọi hướng.

Ai đó có thể cho tôi biết cách tính loại bản đồ này không?

Answer 1

Câu trả lời đúng tùy thuộc vào thuộc tính nào của nhu cầu ban đầu được bảo quản bởi vì mọi phép chiếu bản đồ riêng biệt biến dạng theo một cách riêng biệt. Một số khu bảo tồn, một số bảo tồn các góc, một số bảo tồn khoảng cách.

Giả sử trường hợp là về hình dạng, sau đó tôi đề xuất một Dymaxion map nhưng lưu ý rằng biểu diễn phẳng của nó không phải là hình chữ nhật hoàn toàn.

Để biết các tùy chọn khác, hãy xem danh sách tại Colorado University.

Answer 2

Đối với ánh xạ bạn mô tả, bạn có thể sử dụng tọa độ cực: (x, y) -> (r, alpha), trong đó r bằng [0,1], biểu thị tỷ số giữa khoảng cách từ tâm hình chữ nhật O (0,5,0,5) đến điểm hiện tại P (x, y) và độ dài tối đa mà đoạn này có thể có ở giá trị alpha hiện tại. Sau đó ánh xạ r tới [-PI/2, PI/2] và alpha thành [0,2PI].

Answer 3

Tôi nghĩ bạn đang tìm kiếm Exponential Map. Xem thêm Interactive Decal Compositing with Discrete Exponential Maps.

Answer 4

nếu bạn vẽ phác thảo vấn đề bằng cách sử dụng trục x-y từ 0 đến 1 (tức là góc phần tư đầu tiên), thì với cùng một gốc vẽ octant đầu tiên được chiếu với các trục từ 0 đến pi/2. Đánh dấu tại điểm (1,1) từ gốc sau đó độ lớn của điểm này từ gốc là gốc (2). Bây giờ bạn có thể thấy rằng điểm của bạn (1,1) không thể được ánh xạ lên quả cầu như nó sẽ xuất hiện bên ngoài nó.