spline bề mặt suy

Question

Hãy nói rằng tôi có số n điểm xác định một bề mặt trên trục z

f(x1,y1) = 10 
f(x2,y2) = 12 
f(x3,y3) = 5 
f(x4,y4) = 2 
... 
f(xn,yn) = 21 

bây giờ tôi muốn để có thể gần đúng f (x, y). Tôi đang tìm kiếm một thuật toán cho một tuyến tính và đặc biệt là một xấp xỉ spline. Một thuật toán ví dụ hoặc ít nhất một số con trỏ sẽ là tuyệt vời.

Answer 1

Bạn có thể sử dụng điểm của mình làm điểm kiểm soát của bề mặt Bezier (hoặc Bspline), đặc biệt nếu (xi, yi) lấy mẫu hình chữ nhật trên mặt phẳng XY. Về mặt này, không có sự liên quan nào.

Bề mặt bạn sẽ nhận được sẽ nằm trong thân lồi của các điểm của bạn và sẽ giao nhau (nội suy) các điểm tại ranh giới {xi, yi}.

Nếu bạn muốn thử nghiệm, This forums posting dường như chứa mã đơn giản trong Matlab, và bạn có thể sử dụng GuIRIT làm như vậy nếu bạn không có Matlab (mặc dù nó đòi hỏi tìm ra các định dạng file của chương trình) .

Answer 2

Đây là một mô tả mơ hồ về cách tiếp cận để thực hiện phép tính xấp xỉ tuyến tính.

1. Xác định Voronoi diagram điểm của bạn (ví tất cả các điểm trong mặt phẳng, tìm ra khu vực gần (x_i,y_i))
2. Lấy kép này để có được những Delaunay triangulation: kết nối (x_i,y_i) và (x_j,y_j) nếu có một đoạn thẳng của điểm sao cho (x_i,y_i) và (x_j,y_j) bằng nhau (và gần hơn bất kỳ cặp nào khác).
3. Trên mỗi hình tam giác, tìm mặt phẳng qua ba đỉnh. Đây là nội suy tuyến tính mà bạn cần.

---

Sau đây thực hiện hai bước đầu tiên bằng Python. Độ đều đặn của lưới của bạn có thể cho phép bạn tăng tốc độ mọi thứ (điều này cũng có thể làm hỏng hình tam giác).

import itertools 

""" Based on http://stackoverflow.com/a/1165943/2336725 """ 
def is_ccw(tri): 
    return ((tri[1][0]-tri[0][0])*(tri[1][1]+tri[0][1]) 
      + (tri[2][0]-tri[1][0])*(tri[2][1]+tri[1][1]) 
      + (tri[0][0]-tri[2][0])*(tri[0][1]+tri[2][1])) < 0 

def circumcircle_contains_point(triangle,point): 
    import numpy as np 
    matrix = np.array([ [p[0],p[1],p[0]**2+p[1]**2,1] for p in triangle+point ]) 
    return is_ccw(triangle) == (np.linalg.det(matrix) > 0) 

triangulation = set() 
""" 
A triangle is in the Delaunay triangulation if and only if its circumscribing 
circle contains no other point. This implementation is O(n^4). Faster methods 
are at http://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation 
""" 
for triangle in itertools.combinations(points,3): 
    triangle_empty = True 
    for point in points: 
     if point in triangle: 
      next 
     if circumcircle_contains_point(triangle,point): 
      triangle_empty = False 
      break 
    if triangle_empty: 
     triangulation.add(triangle) 

Answer 3

Nội suy trên dữ liệu 2D không đều không dễ dàng như vậy. Tôi biết không có sự tổng quát về spline đúng với 2D bất thường.

Bên cạnh các phương pháp dựa trên tam giác, bạn có thể xem Barnes (http://en.wikipedia.org/wiki/Barnes_interpolation) và Trọng số khoảng cách nghịch đảo (http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_distance_weighting), hoặc nói chung, RBF (http://en.wikipedia.org/wiki/Radial_basis_functions).

Nếu điểm của bạn được lan truyền không đồng nhất mạnh mẽ (cụm dày đặc), có thể cần thiết để làm cho kích thước của các chức năng thích ứng hoặc khu nghỉ mát gần đúng hơn là nội suy.